アティマク <演習問題2.2>

解答

次の自然な完全列がある：

$$\mathfrak{a} \to A \to A/\mathfrak{a} \to 0 : \text{exact}$$

この完全列に関手$-\otimes_A M$ を作用させると、この関手の右完全性から

$$\mathfrak{a}\otimes_A M \to A\otimes_A M \to (A/\mathfrak{a})\otimes_A M \to 0 : \text{exact}$$

なので、

$$(A/\mathfrak{a})\otimes_A M \cong (A \otimes_A M)/\operatorname{Ker}(A\otimes_A M \to (A/\mathfrak{a})\otimes_A M) \cong (A \otimes_A M)/\operatorname{Im}(\mathfrak{a}\otimes_A M \to A \otimes_A M) \cong M/\operatorname{Im}(\mathfrak{a}\otimes_A M \to A \otimes_A M) \cong M/\mathfrak{a}M$$