私の友人が Proj の構成に疑問をもっていて、それに対し FFが Proj の categorical quotient としての表示に言及していたのでそれをある程度まとめたものになります。後半は飛ばしながら書きましたが、スキーム論をあまり知らなくても雰囲気だけはある程度掴めるかと思います。

これは、数理の翼OB・OG会である「湧源クラブ」という団体で発行されている会誌「Le puits des puits」の2026年5月号に寄稿した内容を外部向けに少し修正し、公開したものになります。

内容は、代数学の中の Cohen-Macaulay 環 (CM環) というクラスの環の幾何学的な直感についてです。今回の記事では、具体例を通して CM環の幾何学的なイメージを掴むことを目指します。証明はすべて省略します。

ネーター加群上の全射自己準同型 f は、核の列 ker(f)⊆ker(f^2)⊆... が停止し、Nakayama の補題により単射となるため同型である。 この結果を環 A 自身に加群として適用すると、片側ネーター環では ab=1 から ba=1 が従う。 この性質は Dedekind-finite と呼ばれ、有限環なども例になる一方、無限次元ベクトル空間の自己準同型環は反例を与える。