Condensed Mathematics Seminar Note / 凝縮数学ゼミノート -1 (導入)

概要

身内の中で勝手に私が凝縮数学について喋るゼミのノートをLaTeX化したものです。
まだまだ浅学なので、多分に誤植が含まれていますがご容赦ください。もし誤植を見つけた方は、私まで連絡していただけると大変嬉しいです。

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凝縮数学ゼミノートの一覧です:

• 凝縮数学ゼミノートまとめ

参考文献

1. [BB26] Nathaniel Bannister and Dianthe Basak, Condensed Sets and the Solovay Model, arXiv:2602.09283 [math.LO], 2026. https://arxiv.org/abs/2602.09283.
2. [BLH24] Jeffrey Bergfalk and Chris Lambie-Hanson, Infinitary combinatorics in condensed math and strong homology, arXiv:2412.19605 [math.AT], 2024. https://arxiv.org/abs/2412.19605.
3. [BS13] Bhargav Bhatt and Peter Scholze, The pro-étale topology for schemes, arXiv:1309.1198 [math.AG], 2013. https://arxiv.org/abs/1309.1198.
4. [CS26] Dustin Clausen and Peter Scholze, Condensed Mathematics and Complex Geometry, arXiv:2605.11731 [math.CV], 2026. https://arxiv.org/abs/2605.11731.
5. [CS-AS] Dustin Clausen and Peter Scholze, Analytic Stacks, lecture series, Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES), YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=YxSZ1mTIpaA. Accessed 2026-06-16.
6. [Ked] Kiran S. Kedlaya, Notes on condensed mathematics. https://kskedlaya.org/condensed/condensed.html.
7. [Lur09] Jacob Lurie, Higher Topos Theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 170, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009. https://doi.org/10.1515/9781400830558.
8. [MM94] Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Universitext, Springer-Verlag, New York, 1994.
9. [Man22] Lucas Mann, A $p$-Adic 6-Functor Formalism in Rigid-Analytic Geometry, arXiv:2206.02022 [math.AG], 2022. https://arxiv.org/abs/2206.02022.
10. [nLab] nLab authors, nLab. https://ncatlab.org/nlab/show/HomePage. Accessed 2026-06-16.
11. [RZ26] Nima Rasekh and Qi Zhu, Fractured Structures in Condensed Mathematics, arXiv:2603.09618 [math.AT], 2026. https://arxiv.org/abs/2603.09618.
12. [RC26] Juan Esteban Rodríguez Camargo, Notes on Solid Geometry, arXiv:2603.03012 [math.AG], 2026. https://arxiv.org/abs/2603.03012.
13. [Sch26a] Peter Scholze, Lectures on Analytic Geometry, arXiv:2605.03655 [math.AG], 2026. https://arxiv.org/abs/2605.03655.
14. [Sch26b] Peter Scholze, Lectures on Condensed Mathematics, arXiv:2605.03658 [math.NT], 2026. https://arxiv.org/abs/2605.03658.
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導入

凝縮数学を考える動機の一つは、位相的な代数系を層論的・ホモロジー代数的に扱える統一的な枠組みを与えることである。典型的な対象として、例えば次のようなものがある。

• $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ や $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$ などの位相群の表現

• 位相群 $G$ が位相アーベル群 $M$ に作用するときの連続群コホモロジー。

• $\mathbb{R}$ や $\mathbb{Q}_p$ などの位相体上の代数幾何・解析幾何。

しかしながら、このような問題を考えるために必要な代数系は位相的性質と相性が悪い :

凝縮数学の背景にある重要な着想の一つが、Bhatt--Scholze による pro-étale topology である BS13（Introduction）。

$X$ を代数閉体 $k$ 上の多様体とし、$\ell\neq\operatorname{char}(k)$ とする。古典的な étale site は torsion coefficients に対してはよく機能するが、記号 $H^i(X_{\acute{e}t},\overline{\mathbb Q}_\ell)$ は、$X_{\acute{e}t}$ 上の $\overline{\mathbb Q}_\ell$-sheaf の cohomology をそのまま表すものではない。この仮定の下では、通常

と定義する。ただし、一般の基礎体や一般のスキームに対しては、(1) のような単純な射影極限だけでは正しい定義にならず、射影極限の高次導来関手を考慮した continuous étale cohomology が必要になる。

constructible $\ell$-adic complexes の導来圏についても、有限係数の導来圏 $D_c^b(X,\mathbb Z/\ell^n\mathbb Z)$ の射影系から $D_c^b(X,\overline{\mathbb Q}_\ell)$ を得る、という見方はあくまで heuristic である。実際には、compatible systems、completion、derived inverse limit などを扱う必要があり、導来圏の単純な射影極限を定義として用いることはできない。pro-étale topology は、このような無限的構成を sheaf theory の中で直接扱うために導入される。

weakly étale morphism は有限表示ならば étale であり、ind-étale morphism は weakly étale である。この意味で、pro-étale topology は étale topology に近い一方、射影極限のような無限的構成により適している。

任意の topological space $T$ は $X_{\mathrm{pro\acute{e}t}}$ 上の ``constant'' sheaf を定める。特に、topological ring $\overline{\mathbb Q}_\ell$ を ring sheaf として扱える。$X$ の underlying topological space が Noetherian であると仮定すると、constructibility は次のように簡潔に記述できる。

このようにして、

を full triangulated subcategory として定義できる。上の設定では、$X_{\mathrm{pro\acute{e}t}}$ 上の ``constant'' sheaf $\overline{\mathbb Q}_\ell$ の cohomology は通常の $\ell$-adic cohomology と一致し、一般の場合にも continuous étale cohomology を回復する。さらに、pro-étale site は局所的に w-contractible な対象で被覆できるため、逆極限や導来圏の構成が古典的な étale site より扱いやすくなる。

condensed mathematics は、この「位相的対象を適切な site 上の sheaf として扱う」という発想を一点 $*$ の pro-étale site に適用する。これにより、topological group や topological ring などを sheaf category の中の代数的対象として符号化し、その上で homological algebra を行うための枠組みが得られる。