数学メモ

私の友人が Proj の構成に疑問をもっていて、それに対し FFが Proj の categorical quotient としての表示に言及していたのでそれをある程度まとめたものになります。後半は飛ばしながら書きましたが、スキーム論をあまり知らなくても雰囲気だけはある程度掴めるかと思います。

これは、数理の翼OB・OG会である「湧源クラブ」という団体で発行されている会誌「Le puits des puits」の2026年5月号に寄稿した内容を外部向けに少し修正し、公開したものになります。

内容は、代数学の中の Cohen-Macaulay 環 (CM環) というクラスの環の幾何学的な直感についてです。今回の記事では、具体例を通して CM環の幾何学的なイメージを掴むことを目指します。証明はすべて省略します。

ネーター加群上の全射自己準同型 f は、核の列 ker(f)⊆ker(f^2)⊆... が停止し、Nakayama の補題により単射となるため同型である。 この結果を環 A 自身に加群として適用すると、片側ネーター環では ab=1 から ba=1 が従う。 この性質は Dedekind-finite と呼ばれ、有限環なども例になる一方、無限次元ベクトル空間の自己準同型環は反例を与える。

松村可換環論に登場する「Rigidity 予想」に関するちょっとしたメモです。

Condensed Mathematics の雰囲気を感じることを目的にしました。

東京大学数理科学研究科 2025年度公開講座「D加群」に参加してきました。これはその時の私の講義ノートです。

あらすじA -> B を整拡大とする。このとき(1) p ∈ Spec(A) の上にただ一つの点 q ∈ Spec(B) があるとき、A_p -> B_q は整(2) B に整域を課す。 p の上に複数の点 q_1, q_2 があるとき、A_p -> B_{q_1} は整ではないという謎命題なんですが…

令和8年度の京大理学部特色入試の口頭試問で登場した $2^{\sqrt{2}}$ の定義を圏論を用いて自然に捉え直すことが目標です。

<解答>Bezout の定理より, ある (a, b \in \mathbb{Z}) が存在し、(am + bn = 1) を満たす。( x \otimes y \in \left( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \right) \otimes_{\mathbb{Z}} \lef…

アティマクの演習問題を解いていたら必要になったものについて紹介します。<メイン>　(k) を体、(V, W) を空でない (k) 上のベクトル空間とする。　このとき、次が成り立つ：$$\operatorname{dim}_k (V\otimes_k W) = \operatorname{dim…

解答次の自然な完全列がある：$\mathfrak{a} \to A \to A/\mathfrak{a} \to 0 : \text{exact}$この完全列に関手(-\otimes_A M) を作用させると、この関手の右完全性から$$\mathfrak{a}\otimes_A M \to A\otimes_…

VScode 使用時のLaTeXの中間ファイル削除の方法のメモです。 ただ、.aux や .log を削除するのはよくないというのがありますが......

Liu の Chapter. 4 - prop 3.39 で平坦な局所環の射は忠実平坦という事実が必要になりましたが、重要そうなのでここにメモしておきます。(まあ、普通に松村可換環論の p.58 に書いているんですがね...)https://math.stackexchange.com/q/4573651

第7回すうがく徒のつどいの講演後や懇親会でUemuraさんと話していたこと備忘録です。

「既約環のWikiの記事は正確なのかどうか？」という疑問に対する、私の解釈。

<解答>　$U=\operatorname{Spec}(B)$ を $X=\operatorname{Spec}(A)$ の affine open subscheme とする。<br/>　$U$ は quasi compact なので、ある $f \in A$ によって $U = D(f)$…