Liu <Exercises Ch.2 - 3.3>

<解答>

　$U=\operatorname{Spec}(B)$ を $X=\operatorname{Spec}(A)$ の affine open subscheme とする。<br/>

　$U$ は quasi compact なので、ある $f \in A$ によって $U = D(f)$ と表せる。affine open subset $D(f)$ の構造環の大域切断は

$$\Gamma(D(f),\mathcal{O}_X)\simeq A_f$$

であるから、 $B \cong A_f$ 。<br/>

　$A$-加群 $M$ について

$$M\otimes_A A_f \simeq S^{-1}M\quad(S=\{1,f,f^2,\dots\})$$

であり，局所化函手 $S^{-1}(-)$ は exact。したがって $- \otimes_A A_f$ は exact で，$A_f$ は $A$ -平坦。<br/>

　以上より $A\to A_f \overset{\sim}{\to} B$ は平坦。