11/22（日）に東大駒場キャンパスで開催された公開講座『$D$ 加群』に参加してきました。

ここでは，その私のノートを公開します。

注意：多少私の知識が混ざっているので、完全な板書ではないです。

目次

• 『微分方程式とワイル代数』（池 祐一 先生）
• 『$D$ 加群とリーマン・ヒルベルト対応』（阿部 知行 先生）
• 『$D$ 加群の表現論への応用』（大島 芳樹 先生）

『微分方程式とワイル代数』（池 祐一 先生）

1. 線形微分方程式

未知関数とその導関数が現れる方程式を微分方程式という。

例：

• $f(x) = f(x)(1-f(x))$ は非線形方程式。
• 以下では線形微分方程式を扱う。

一般の 1 変数線形微分方程式を

$$a_n(x) f^{(n)}(x)+ a_{n-1}(x) f^{(n-1)}(x)+ \cdots+ a_0(x) f(x) = 0 \qquad \tag{*}$$

と書く。ここで $a_i(x)$ は多項式（あるいは十分な正則関数）とする。

$\partial_x := \dfrac{d}{dx}$ とおけば，(*) は

$$\bigl(a_n(x)\partial_x^n+ a_{n-1}(x)\partial_x^{n-1}+ \cdots+ a_0(x)\bigr) f = 0$$

すなわち

$$P(x,\partial_x) f = 0$$

の形に書ける。$P(x,\partial_x)$ を線形微分作用素という。

2. ワイル代数

$x$ を変数とし，多項式環 $\mathbb{C}[x]$ 上の微分作用素全体を考える：

$$D :=\left\{\sum_{i=0}^n a_i(x)\partial_x^i\ \middle|\ a_i(x) \in \mathbb{C}[x],\ n \ge 0\right\}.$$

この $D$ は加法と合成に関して環をなし，

1 変数のワイル代数あるいは微分作用素環と呼ばれる。

$f \in \mathbb{C}[x]$ に対して

$$\partial_x(f) = f'(x)$$

という作用をもつことから，

$$\partial_x(xf) = ( \partial_x x ) f + x\partial_x f = f + x\partial_x f$$

となり，

$$\partial_x x - x\partial_x = 1 \qquad\text{すなわち}\qquad [\partial_x, x] = 1$$

という基本的な交換関係が成り立つ。

したがって $D$ は非可換環であり，

$$D \cong \mathbb{C}\langle x,\partial_x\rangle / (\partial_x x - x\partial_x - 1)$$

と表される。

3. $D$ 加群との関係

微分方程式 (*) は，$D$ の元 $P(x,\partial_x)$ を用いて

$$P(x,\partial_x) f = 0$$

と書けるので，$D$ 加群

$$M_P := D / DP$$

を考えることで，方程式の性質を代数的に研究できる。

目標は，「$D$ を代数的に扱うことで，微分方程式の解や特異点に関する情報を読み取る」ことであり，

この枠組みが D 加群論・ワイル代数の基本的なモチベーションとなる。

『$D$ 加群とリーマン–ヒルベルト対応』（阿部 知行 先生）

1. 微分作用素の復習

$x$ を変数とし，$A$ を $x$ に関する関数全体の空間とする。

典型的には

- $A = \mathbb{C}[x]$（多項式環）

- $A = \mathscr{O}(U)$（開集合 $U \subset \mathbb{C}$ 上の正則関数全体）

といった例を考える。

1 変数の微分作用素とは，写像

$$P : A \longrightarrow A$$

であって，次の形をしているものをいう：

$$P = a_0(x)+ a_1(x)\frac{d}{dx}+ \cdots+ a_n(x)\frac{d^n}{dx^n}, \qquad a_i(x) \in A.$$

ここで

$$\partial_{x} := \frac{d}{dx}$$

と書くと

$$P = a_0(x) + a_1(x)\partial_x + \cdots + a_n(x)\partial_x^n$$

と表せる。

このような作用素全体は加法・合成に関して環をなし，

ワイル代数あるいは微分作用素環

$$D := A\langle \partial_x \rangle$$

と呼ばれる。非可換な関係

$$[\partial_x, x] := \partial_x x - x\partial_x = 1$$

を満たすことが重要である。

2. $D$ 加群

環 $D$ の左加群を $D$ 加群 と呼ぶ。

すなわち，$D$ 加群とは，線形空間 $M$ に $D$ の左作用

$$D \times M \longrightarrow M,\qquad (P,m) \longmapsto P\cdot m$$

が入り，環と加群の通常の公理

$$(P+Q)\cdot m = P\cdot m + Q\cdot m,\quad (PQ)\cdot m = P\cdot (Q\cdot m),\quad 1\cdot m = m$$

などを満たすものである。

最も基本的な例は

$$M = A$$

で，$f \in A$ に対して

$$(P\cdot f)(x) := P(f)(x)$$

と定めると $A$ は $D$ の左加群になる。

3. 微分方程式と $D$ 加群

線形微分方程式

$$P f = 0$$

は，$D$ の元 $P$ によって決まる。

例 1

$$(\partial_x - 1)f = 0$$

の解空間は

$$\{\, f(x) = c e^{x} \mid c \in \mathbb{C} \,\}$$

である。

例 2

$$(\partial_x - 1)(x f) = 0$$

と書き換えると，$g := x f$ に対して

$$(\partial_x - 1)g = 0$$

となるので，$g = c e^{x}$，したがって

$$f(x) = \frac{c e^{x}}{x}$$

となる。両者の解空間は同型であり，「同じ方程式」を別の $D$ 加群の形で見ていると理解できる。

一般に，$P \in D$ に対して

$$M_P := D / D P$$

とおくと，$M_P$ は 1 つの $D$ 加群であり，$P$ による微分方程式の「代数的な姿」を表している。

4. $D$ 加群の射

$D$ 加群 $M, N$ のあいだの準同型とは，

線形写像

$$\varphi : M \longrightarrow N$$

であって

$$\varphi(P\cdot m) = P\cdot \varphi(m) \qquad (P \in D,\ m \in M)$$

を満たすものである。

これは「解空間を保つ」ような写像を抽象化したものと考えられる。

5. モノドロミーの例

次の 2 階常微分方程式を考える：

$$x^2 f''(x) + x f'(x) = 0.$$

これは

$$(x\partial_x)^2 f = 0$$

と書ける。

この方程式の解は

$$f(x) = \alpha + \beta \log x \qquad (\alpha,\beta \in \mathbb{C})$$

で与えられる。

原点を中心とした閉曲線を一周させると，

$$x \longmapsto e^{2\pi i} x$$

に対応して

$$\log x \longmapsto \log x + 2\pi i$$

となる。したがって，基底 $\{1, \log x\}$ による座標

$$\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$

は一周の後に

$$\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$

へ写る。この行列をこの方程式の モノドロミー行列 という。

6. リーマン–ヒルベルト問題（概念）

複素多様体 $X$ と，その基本群の表現

$$\rho : \pi_1(X) \longrightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$$

（すなわち階数 $n$ の局所系）を与える。

リーマン–ヒルベルト問題：

与えられた局所系（モノドロミー表現）に対応するような正則特異な $D$ 加群（微分方程式）は存在するか？ 存在するなら，それをどのように特徴付けるか？現代的には，正則ホロノミック $D$ 加群の圏と，適切な層（たとえば，構成可能層や層の導来圏の中の偏屈層）の圏との間に反同値が成り立つ，という主張が リーマン–ヒルベルト対応 と呼ばれる。

『$D$ 加群の表現論への応用』（大島 芳樹 先生）

1. リーマン球面の構成

リーマン球面 $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ は、2つの複素平面 $\mathbb{C}_x$ と $\mathbb{C}_y$ を $x = 1/y$ で貼り合わせたものである。

2. 座標変換と微分作用素

この上において、微分作用素の環を考える。

$\mathbb{C}[x]$ を係数とするWeyl代数 $D(\mathbb{C}_x)$ において、座標変換 $y = 1/x$ を考える。

関数の変換則 $f(x) = f(1/y)$ より、連鎖律を用いて微分作用素の変換を計算する。

$$\partial_y = \frac{\partial x}{\partial y} \partial_x = -\frac{1}{y^2} \partial_x = -x^2 \partial_x$$

逆に、

$$\partial_x = -y^2 \partial_y$$

3. 大域的な微分作用素

$\mathbb{P}^1$ 上の大域的な微分作用素（1階）となるためには、$\mathbb{C}_x$ 上の作用素 $P(x)\partial_x$ が $\mathbb{C}_y$ 上でも正則でなければならない。

$P(x)$ を $n$ 次多項式とすると、

$$P(x)\partial_x = P(1/y)(-y^2 \partial_y)$$

これが $y=0$ で正則であるためには、$P(x)$ は $x$ の2次以下の多項式でなければならない。

3. リー環の基底

したがって、$\mathbb{P}^1$ 上の大域的なベクトル場の空間は、$\partial_x, x\partial_x, x^2\partial_x$ で張られる。これらを基底として交換関係（Lie bracket） $[P, Q] = PQ - QP$ を計算する。

$$[\partial_x, x\partial_x] = \partial_{x}(x\partial_{x}) - x\partial_{x}(\partial_{x}) = \partial_{x}$$

$$[\partial_x, x^2\partial_x] = \partial_x(x^2\partial_x) - x^2\partial_x(\partial_x) = 2x\partial_x$$

$$[x\partial_x, x^2\partial_x] = x^2\partial_x$$

4. $\mathfrak{sl}_2$との対応

ここで、以下のように基底を置き直す。

$$E = -\partial_x, \quad H = -2x\partial_x, \quad F = x^2\partial_x$$

すると、以下の交換関係が得られる。

$$[H, E] = 2E, \quad [H, F] = -2F, \quad [E, F] = H$$

これは行列のリー環 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ の交換関係と一致する。

行列での基底は以下の通り：

$$e = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad h = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad f = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

5. メビウス変換と作用

リー環（Lie Algebra）は無限小変換を記述し、リー群（Lie Group）は大域的な変換を記述する。

$\mathfrak{sl}_2$ に対応するリー群は $SL_2(\mathbb{C})$ であり、一次分数変換（メビウス変換）として作用する。

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot z = \frac{az+b}{cz+d}$$

微分作用素による作用は、この変換の微分（無限小変換）に対応している。

6. 表現論

リー環 $\mathfrak{g}$ の表現とは、線形空間 $M$ に対して、$\mathfrak{g}$ の元 $e, h, f$ に対応する線形変換 $M \to M$ が定まり、リー環の交換関係を満たすものである。

$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ の表現とは，線形空間 $M$ 上の作用

$$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C}) \times M \longrightarrow M$$

であって，リー環の関係式

$$[e,f] = h,\quad [h,e] = 2e,\quad [h,f] = -2f$$

を満たすものである。

先ほど構成した $e,h,f \in D(\mathbb{P}^1)$ は，$\mathbb{P}^1$ 上の

微分作用素として同じ交換関係を満たしているので，

$D(\mathbb{P}^1)$ 加群を通じて $\mathfrak{sl}_2$ 表現を幾何的に記述できる。

具体的には，$D(\mathbb{P}^1)$ 加群 $M$ に対し，

$$e\cdot m,\quad h\cdot m,\quad f\cdot m$$

の作用が定まり，これが $\mathfrak{sl}_2$ の表現を与える。

7. $D$ 加群とリーマン・ヒルベルト対応のイントロ

$D(\mathbb{P}^1)$ 加群は sheaf 的には次のデータに対応する：

- 開集合 $U_x, U_y$ 上の $D(\mathbb{C}[x])$ 加群 $M_x$，$D(\mathbb{C}[y])$ 加群 $M_y$，

- 交わり $U_x \cap U_y$ 上での貼り合わせ条件

を満たすもの。

したがって，

$$\text{代数的な } \mathfrak{sl}_2\text{ 表現}\quad \longleftrightarrow \quad \mathbb{P}^1 \text{ 上の } D\text{-加群}$$

という対応が得られ，これを通じて表現論の対象を D 加群の言葉で理解できる。

追記

　大島先生の講義で私は，$\mathbb{P}^1$ を考える理由がわからず，講義中，「proper な性質が重要だから，$\mathbb{P}^1$ を考えているのですか？」という初心者すぎる質問をして返答をもらったのですが，いまいちよくわからないまま終わりました。その後，先輩が教えてくださったので，それをメモします。

Beilinson-Bernstein 対応の整理

1. 基本設定

• リー環: $\mathfrak{g}$ を半単純リー環 (semisimple Lie algebra) とする。
• リー群: $G$ を $\mathfrak{g}$ に対応するリー群とする。
• ボレル部分群: $B \subset G$ をそのボレル部分群 (Borel subgroup) とする。
• 旗多様体: 商空間 $X = G/B$ は 旗多様体 (Flag Variety) と呼ばれる。

(注: $G/B$ は一般にコンパクト、すなわち代数幾何学の意味で proper な代数多様体である)

2. Beilinson-Bernstein 対応

旗多様体上の幾何学的な対象（$\mathcal{D}$ 加群）と、代数的な対象（表現）の対応関係。

$$\text{D-mod}(G/B) \longleftrightarrow \mathfrak{g}\text{-mod}_{\chi}$$

• 左辺 (幾何): $G/B$ 上の連接 $\mathcal{D}_{G/B}$ 加群 (coherent $\mathcal{D}$-modules) の圏。
• 右辺 (代数): 有限生成 $U(\mathfrak{g})$ 加群 (finite generated $U(\mathfrak{g})$-modules) の圏の一部。
  • $U(\mathfrak{g})$ は $\mathfrak{g}$ の普遍包絡環。
  • 「一部」とは、中心指標 (central character) が固定された（例えば自明な）もの。

3. 具体例: $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_2$ の場合

$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_2$ のとき、旗多様体はリーマン球面と同型になる。

$$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_2 \implies G/B \cong \mathbb{P}^1$$

ステップ 1: 幾何学的直観

$2$ 次元ベクトル空間 $\mathbb{C}^2$ における旗 $0 \subset V_1 \subset \mathbb{C}^2$ は，原点を通る直線 $V_1$ を選ぶことと等価。

$$\text{Flag}(\mathbb{C}^2) \cong \{ \text{lines in } \mathbb{C}^2 \} \cong \mathbb{P}^1$$

ステップ 2: 推移的な作用

群 $G = SL_2(\mathbb{C})$ は $\mathbb{P}^1$ に推移的に作用する。

任意の点 $[u \colon v]$ は，ベズーの定理によって適切な行列変換で他の任意の点に移すことができる。 したがって，ある基準点 $p_0 = [1 \colon 0]$ の軌道は全体となる。

$$\text{Orbit}_G(p_0) = \mathbb{P}^1$$

ステップ 3: 固定部分群

基準点 $p_0 = [1 \colon 0]$ を固定する $G$ の部分群を計算すると，ボレル部分群 $B$ と一致する。

$$\text{Stab}_G(p_0) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{C}) \right\} = B$$

結論

軌道・固定部分群定理により以下が成り立つ。

$$G / \text{Stab}_G(p_0) \cong \text{Orbit}_G(p_0)$$

これに上記の結果を代入することで、同型が得られる。

$$G/B \cong \mathbb{P}^1$$

この対応が念頭にあったから，$\mathbb{P}^1$ で議論していたっぽいです。決して，「層の導入として被覆が取りやすいから」ではないっぽいです笑

追記追記

私とその友人らとで講演後いろいろ話していたのですが，そのなかで「スキームとその準連接層の成すアーベル圏が対応することを考えると，非可換代数幾何と$D$加群は関係がありそう」という話をしましたが，調べてみると実際に旗多様体と表現の対応であるBeilinson-Bernstein対応の類似として，量子旗多様体と表現の対応が存在するそうです。

非可換代数幾何に関しては，

Alexander L. Rosenberg, Noncommutative Algebraic Geometry and Representations of Quantized Algebras, https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-015-8430-2

とかが参考になると思います。

　量子旗多様体と $D$ 加群に関しては，

Erik Backelin, Kobi Kremnizer, Quantum flag varieties, equivariant quantum D-modules and localization of quantum groups,

とかが参考になると思います。