Condensed Math (凝縮数学)に関する覚書

注意. 今(2026/6/11)、改めてこれを読んでみると、かなり雑で間違った理解の部分もあることに気づきました。最近、改めてLectures on Condensed Mathematics でゼミを行っていて、改訂版というか証明も含めたある程度ちゃんとした日本語文献を書くつもりでいるのでそちらを参照してください。これは戒めとして置いておきます。

-> 改訂版 (更新 : 2026/6/16)

注意. なぜか、このページの閲覧数が、改訂版より伸びてしまっているので、本日(2026/06/19)、こちらを全体的に修正しました。把握している大きな間違いは多分だいたいなくなっていると思います。誤植などあれば、ご指摘をお願いしたいです。

参考文献

Peter Scholze, Lectures on Condensed Mathematics, 2019
https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Condensed.pdf
Qi Zhu, Fractured Structure on Condensed Anima, 2023
https://1429cecd-24a0-4223-8b7c-1ebf47aa12e2.filesusr.com/ugd/8e912a_fe1c2f8e90094d0fa065fb8129687963.pdf
Clark Barwick and Peter Haine, Pyknotic objects, 2019
https://arxiv.org/abs/1904.09966
Juan Esteban Rodríguez Camargo, Condensed Mathematics and Applications: summer school on arithmetic and $p$ -adic geometry in Chile, 2024
https://drive.google.com/file/d/1g3DNB1wy4k3TvTHH0Aq9U5-1-4LGybtW/view?usp=sharing
nLab
Wikipedia

Condensed Math とはなんだろうか？

位相を備えた代数系を考えたい場合、例えば数論幾何における絶対ガロア群

\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})

などが挙げられます。

しかし、位相アーベル群全体はアーベル圏ではなく、ホモロジー代数を行うことが困難です。ホモロジー代数を行うには位相を忘却する必要がありますが、絶対ガロア群は profinite であり、その位相を忘れてしまうと

中間体と閉部分群の対応が壊れる
ガロア表現に病的な群準同型が存在してしまう

など、様々な課題が生じます。

この「位相」と「代数」を両立させた圏を構成したい、というのが condensed math の動機です。

定義 1

位相空間が profinite であるとは、finite discreate set の filtered colimit で表されることをいう。profinite sets の成す圏を $\operatorname{ProFin}$ で表す。
compact Hausdorff set が extremally disconnected であるとは、任意の開集合の閉包が再び開集合になることをいう。extremally disconnected compact Hausdorff sets の成す圏を $\operatorname{Extr}$ で表す。

注意.　包含

\operatorname{Extr} \hookrightarrow \operatorname{ProFin} \hookrightarrow \operatorname{CHaus}

は充満埋め込みであるが、本質的全射ではない。

注意. $\operatorname{Extr}$ は small ではなく、site 上の sheaf を考えるには集合論的問題が生じる。そのため、uncountable strong limit cardinal $\kappa$ を固定し、濃度 $<\kappa$ の profinite sets や extremally disconnected compact Hausdorff sets などを考え、それら全体の成す圏をそれぞれ $\operatorname{ProFin}_{\kappa}$ と $\operatorname{Extr}_{\kappa}$ で表す。

定義 2

$\mathcal{D}$ を $\infty$ -category とする。 $\mathcal{D}$ における condensed object とは、任意の extremally disconnected compact Hausdorff sets $S_1,S_2$ に対して、自然な写像

T(S_1\amalg S_2)\to T(S_1)\times T(S_2)

が全単射であるような $\operatorname{Sh}_{\mathcal{D}}(\operatorname{Extr}_{\kappa})$ の対象のことである。
$\mathcal{D}$ の condensed objects の成す $\infty$ -category を $\operatorname{Cond}_{\kappa}(\mathcal{D})$ とする。

$\infty$ -categoryの部分を $1$ -categoryに置き換えれば、それもそのまま定義として成り立つ。

$\operatorname{Cond}_{\kappa}(\operatorname{An})$ の対象を condensed anima という。 $\operatorname{Cond}_{\kappa}(\operatorname{An})$ は $\infty$ -topos である。

命題 3

$\textbf{condensification}$ 関手

\operatorname{Top}\to \operatorname{Cond}_{\kappa}(\operatorname{Set}), \quad X\mapsto \underline{X}:= \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(-,X)

は忠実である。そしてこれは、 $\kappa$ -compactly generated sets に制限されたときに忠実充満となる。

同様のことが関手

\operatorname{TopAb}\to \operatorname{Cond}_{\kappa}(\operatorname{Ab}), \quad X\mapsto \underline{X}

などに対しても成り立つ。

注意. 次のような自然な合成が存在する：

\begin{array}{ccccc} {Cond}_{κ} (Set) & ↪ & {Cond}_{κ} (An) \\ \underline{(-)} ↗ \\ Top \\ ↘ \\ An & \underset{よ}{↪} & {Cond}_{κ} (An) \end{array}

命題 4

圏 $\operatorname{Cond}_{\kappa}(\operatorname{Ab})$ は、次の Grothendieck アーベル圏の公理を満たすようなアーベル圏である：

(AB 3)　すべての極限が存在する。
(AB 3*)　すべての余極限が存在する。
(AB 4)　直和を取る操作が完全。
(AB 4*)　直積を取る操作が完全。
(AB 5)　フィルター余極限を取る操作が完全。
(AB 6)　任意の添字圏 $J$ とフィルター圏 $I_j$ であって関手 $I_j\to \operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ を持つものに対して、自然な射

\underset{(i_j\in I_j)_j}{\operatorname{colim}}\ \underset{j\in J}{\prod} M_{i_j} \longrightarrow \underset{j\in J}{\prod}\ \underset{(i_j\in I_j)_j}{\operatorname{colim}} M_{i_j}

が同型射となる。

さらに、 $\operatorname{Cond}_{\kappa}(\operatorname{Ab})$ は compact projective objects によって生成される。

命題 5

G

を離散位相アーベル群とする。このとき、次の自然な同型射が存在する：

H_{\text{sheaf}}^i(S,G)\cong H_{\text{cond}}^i(S,G).

例 6

$\operatorname{id}_{\mathbb{R}}\colon \mathbb{R}_{\text{disc}}\to \mathbb{R}_{\text{eucl}}$ 　は核と余核が自明だが同型ではなく、 $\operatorname{TopAb}$ がアーベル圏にならない大きな原因となっていた。

さて、condensed abelian groups $\underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}},\ \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}$ を考える。

$\operatorname{Cond}_{\kappa}(\operatorname{Ab})$ はアーベル圏であることがわかったので、「核も余核も $0$ なのに同型でない」という状況は起こり得ないはずである。実際、

\operatorname{id}_{\mathbb{R}}(*)\colon \underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}}\to \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}

を $S\in\operatorname{ProFin}_{\kappa}$ に対して各点で考えると

(\operatorname{Coker}\operatorname{id}_{\mathbb{R}}(*))(S) = \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(S,\mathbb{R}_{\text{disc}}) / \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(S,\mathbb{R}_{\text{eucl}})

という関係を得られる。

そして、condensed アーベル群の短完全列

0\to \underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}}\to \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}\to Q\to 0

を取り、右導来関手によって長完全列

0\to \underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}}(S)\to \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}(S)\to Q(S)\to H_{\text{cond}}^1(S,\mathbb{R}_{\text{disc}})\to H_{\text{cond}}^1(S,\mathbb{R}_{\text{eucl}})\to \cdots

が得られる。命題 5 を適用すると

H_{\text{cond}}^1(S,\mathbb{R}_{\text{disc}})=0

となる。よって

Q(S)\cong \operatorname{Coker}\bigl(\underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}}(S)\to \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}(S)\bigr) \neq 0

が成り立つ。

例 6 において、

\operatorname{Coker}\bigl(\underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}}(S)\to \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}(S)\bigr)

は $\operatorname{TopAb}$ では $0$ でしたが、 $\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ では $0$ ではありませんでした。

つまり $Q$ は位相空間由来でない、純粋に condensed な対象であることがわかります。

補足.

2023年以降、light condensed set という距離化可能な profinite sets の圏に対して condensed set などを考えることが多いです。 light condensed set の圏は基数を制限しなくても Grothendieck topos になります。

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