参考文献

• Peter Scholze, Lectures on Condensed Mathematics, 2019
  https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Condensed.pdf
• Qi Zhu, Fractured Structure on Condensed Anima, 2023
  https://1429cecd-24a0-4223-8b7c-1ebf47aa12e2.filesusr.com/ugd/8e912a_fe1c2f8e90094d0fa065fb8129687963.pdf
• Clark Barwick and Peter Haine, Pyknotic objects, 2019
  https://arxiv.org/abs/1904.09966
• Juan Esteban Rodríguez Camargo, Condensed Mathematics and Applications: summer school on arithmetic and $p$-adic geometry in Chile, 2024
  https://drive.google.com/file/d/1g3DNB1wy4k3TvTHH0Aq9U5-1-4LGybtW/view?usp=sharing
• nLab
• Wikipedia

Condensed Math とはなんだろうか？

位相を備えた代数系を考えたい場合、例えば数論幾何における絶対ガロア群

$$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$$

などが挙げられます。

しかし、位相アーベル群全体はアーベル圏ではなく、ホモロジー代数を行うことが困難です。ホモロジー代数を行うには位相を忘却する必要がありますが、絶対ガロア群は profinite であり、その位相を忘れてしまうと

• 中間体と閉部分群の対応が壊れる
• ガロア表現に病的な群準同型が存在してしまう

など、様々な課題が生じます。

この「位相」と「代数」を両立させた圏を構成したい、というのが condensed math の動機です。

定義 1

• extremally disconnected set とは、任意の開集合の閉包が再び開集合になる位相空間のことである。extremally disconnected sets の成す圏を $$\operatorname{ExtrDisc}$$ で表す。
• Stonean 空間とは extremally disconnected な Stone 空間のことである。この Stonean 空間全体の成す圏を $$\operatorname{Stonean}$$ で表す。

補足 2

包含

$$\operatorname{Stonean} \hookrightarrow \operatorname{Stone} \hookrightarrow \operatorname{CHaus}$$

は充満埋め込みであるが、本質的全射ではない。

定義 3

• $\mathcal{D}$ を $\infty$-category とする。$\mathcal{D}$ における condensed object とは $$\operatorname{Sh}_{\mathcal{D}}(\operatorname{Stonean})$$ の対象のことである。
• $\mathcal{D}$ の condensed objects の成す $\infty$-category を $$\operatorname{Cond}(\mathcal{D})=\operatorname{Sh}_{\mathcal{D}}(\operatorname{Stonean})$$ とする。
• $\operatorname{Cond}(\operatorname{An})$ の対象を condensed anima という。$\operatorname{Cond}(\operatorname{An})$ は $\infty$-topos である。

注意 4

上の定義で $\operatorname{Stonean}$ は small ではない。そのため、site 上の sheaf を考えるには集合論的問題が生じるが、詳しくは Clark Barwick and Peter Haine による参考文献を参照してほしい。

命題 5

$X$ を任意の位相空間とする。$\mathcal{C} \in \operatorname{CHaus}$, $\operatorname{Stone}$, $\operatorname{Stonean}$ に対し、

$$\underline{X}\colon \mathcal{C}^{\operatorname{op}}\to \operatorname{Set}, \quad S\mapsto \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(S,X)$$

は condensed set である。

命題 6

関手

$$\operatorname{Top}\to \operatorname{Cond}(\operatorname{Set}), \quad X\mapsto \underline{X}$$

は忠実である。そしてこれは、コンパクト生成空間に制限されたときに忠実充満となる。

同様のことが関手

$$\operatorname{TopAb}\to \operatorname{Cond}(\operatorname{Ab}), \quad X\mapsto \underline{X}$$

などに対しても成り立つ。

補足 7

次のような自然な合成が存在する：

$$\begin{matrix} & & \operatorname{Cond}(\operatorname{Set}) & \large{\hookrightarrow} & \operatorname{Cond}(\operatorname{An}) \\ & \small{\underline{(-)}} \large{\nearrow}& & & \\ \operatorname{Top} & & & & \\ & \quad \large{\searrow} & & & \\ & & \operatorname{An} & \underset{\operatorname{よ}} {\large{\hookrightarrow}} & \operatorname{Cond}(\operatorname{An}) \end{matrix}$$

定理 8

圏 $\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ は、次のいくつかの Grothendieck アーベル圏の公理を満たすようなアーベル圏である：

• (AB 3)　すべての極限が存在する。
• (AB 3*)　すべての余極限が存在する。
• (AB 4)　直和を取る操作が完全。
• (AB 4*)　直積を取る操作が完全。
• (AB 5)　フィルター余極限を取る操作が完全。
• (AB 6)　任意の添字圏 $J$ とフィルター圏 $I_j$ であって関手 $I_j\to \operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ を持つものに対して、自然な射

$$\underset{(i_j\in I_j)_j}{\operatorname{colim}}\ \underset{j\in J}{\prod} M_{i_j} \longrightarrow \underset{j\in J}{\prod}\ \underset{(i_j\in I_j)_j}{\operatorname{colim}} M_{i_j}$$

が同型射となる。

定理 9

$G$ を離散位相アーベル群とする。このとき、次の自然な同型射が存在する：

$$H_{\text{sheaf}}^i(S,G)\cong H_{\text{cond}}^i(S,G).$$

例 10

$$\operatorname{id}_{\mathbb{R}}\colon \mathbb{R}_{\text{disc}}\to \mathbb{R}_{\text{eucl}}$$

は核と余核が自明だが同型ではなく、$\operatorname{TopAb}$ がアーベル圏にならない大きな原因となっていた。 さて、condensed アーベル群

$$\underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}},\ \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}\colon \operatorname{Stone}^{\operatorname{op}}\to \operatorname{Ab}$$

を考える。圏 $\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ はアーベル圏であることがわかったので、「核も余核も $0$ なのに同型でない」という状況は起こり得ないはずである。 実際、

$$\operatorname{id}_{\mathbb{R}*}\colon \underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}}\to \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}$$

を $S\in\operatorname{Stone}$ に対して各点で考えると

$$(\operatorname{Coker}\operatorname{id}_{\mathbb{R}*})(S) = \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(S,\mathbb{R}_{\text{disc}}) / \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(S,\mathbb{R}_{\text{eucl}})$$

という関係を得られる。

そして、condensed アーベル群の短完全列

$$0\to \underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}}\to \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}\to Q\to 0$$

を取り、右導来関手によって長完全列

$$0\to \underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}}(S)\to \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}(S)\to Q(S)\to H_{\text{cond}}^1(S,\mathbb{R}_{\text{disc}})\to H_{\text{cond}}^1(S,\mathbb{R}_{\text{eucl}})\to \cdots$$

が得られる。定理 9 を適用すると

$$H_{\text{cond}}^1(S,\mathbb{R}_{\text{disc}})=0$$

となる。よって

$$Q(S)\cong \operatorname{Coker}\bigl(\underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}}(S)\to \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}(S)\bigr) \neq 0$$

が成り立つ。

補足 11

例 10 において、

$$\operatorname{Coker}\bigl(\underline{\mathbb{R}_{\text{disc}}}(S)\to \underline{\mathbb{R}_{\text{eucl}}}(S)\bigr)$$

は $\operatorname{TopAb}$ では $0$ でしたが、$\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ では $0$ ではありませんでした。

つまり $Q$ は位相空間由来でない、純粋な condensed な対象であることがわかります。

注意 12

例 10 は Fractured Structure on Condensed Anima の Example 3.27 を参考にしました。そこでは

$$\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})\cong \operatorname{Sh}_{\operatorname{Ab}}(\operatorname{Stone})$$

に言及していましたが、

$\operatorname{Stone}$ の対象は $\operatorname{CHaus}$ の射影的対象であるとは限りません。Lectures on Condensed Mathematics の Theorem 3.2 ではこの射影性をもとに議論しているので、

$$\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})\cong \operatorname{Sh}_{\operatorname{Ab}}(\operatorname{Stone})$$

は

$$\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})\cong \operatorname{Sh}_{\operatorname{Ab}}(\operatorname{Stonean})$$

の誤植ではないでしょうか？ どなたか教えてください。

注意 12 に関して

よのさん（@quasi_cosmoi）から、Lectures on Condensed Mathematics の Proposition 2.7 より

$$\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})\cong \operatorname{Sh}_{\operatorname{Ab}}(\operatorname{Stone})$$

が成り立つことを教えていただきました。ありがとうございます。

補足 13

最近は、profinite sets の圏が large であり、$\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})$ が topos にならないという問題を解決するために、距離化可能 profinite sets の圏に対して condensed set などを考えることが増えてきているそうです。

この condensed set を light condensed set といいます。