あらすじ

A -> B を整拡大とする。このとき
(1) p ∈ Spec(A) の上にただ一つの点 q ∈ Spec(B) があるとき、A_p -> B_q は整
(2) B に整域を課す。 p の上に複数の点 q_1, q_2 があるとき、A_p -> B_{q_1} は整ではない
という謎命題なんですが、これって簡単に／幾何的に分かりますか？

— しえろ🍆 (@4_____el) November 21, 2025

というFFのツイートが流れてきたので、それについて少し考察しました。

---

表記

$A$ : 整域、 $K \coloneqq \operatorname{Frac}(A)$

---

付値と極について

　これは私の情報収集能力が低いこともあり、一般的な状況での文献を見つけることができませんでした。なので、間違っていると思って読んでください。

$f \in \mathbb{C}(x)$ をとる。この $f$ と \mathbb{C} 上の点 $p$ に対して、 $v_{p}(f)$ を次のように定める：

$f$ が $p$ で $n$ 位の零点	$v_{p}(f) = n > 0$
$f$ が $p$ で $n$ 位の極	$v_{p}(f) = -n < 0$
otherwise	$v_{p}(f) = 0$

このように $v$ を定めると、これは $\mathbb{C}$ の加法付値になる。

　このことを踏まえると、次のような定義ができそうであると考えられる。

$f \in K$ をとる。この $f$ と $K$ に対して、$v(f)$ を次のように定める：

$f$ が $n$ 位の零点をもつ	$v(f) = n > 0$
$f$ が $n$ 位の極をもつ	$v(f) = -n < 0$
otherwise	$v(f) = 0$

このように $v$ を定めると、これは $K$ の加法付値になる。

以下、この極の定義を採用する。

---

整と極について

松村可換環論：定理 10.4.

$\mathcal{V}$ を $K$ の付値環 $V$ で $A \subseteq V$ を満たすもの全体とする。このとき、$A$ の整閉包 $\overline{A}$ は

$${ \overline{A}} = {\underset{V \in \mathcal{V}}{\bigcap}} V$$

とあらわせる。

---

この定理を言い換えると

「$x$ が $A$ 上整である必要十分条件は $x$ が任意の付値に対して極をもたないことである 。」

となる。

Valuative Criterion for Properness

$$\begin{matrix} \quad \operatorname{Spec}(V)& {\large{\longrightarrow}}&\operatorname{Spec}(A[x]) \\ {\large{\uparrow}} & {\large{\nearrow}} & {\large{\downarrow}} \pi \\ \quad \operatorname{Spec}(K)& {\large{\longrightarrow}} & \operatorname{Spec}(A)\end{matrix}$$

という図式を考える。

　ここで、 $x$ が $A$ 上整のとき、Valuative Criterion for Properness より $\pi$ は proper (ファイバーが位相空間的にコンパクト)であり、穴がないと言える。整でないとき、$\pi$ は proper でなく、ファイバーに穴がある空間となる。　

　この観察から、ツイートの (2) を考えると、$p$ 上に複数の点があり、そのある点上の局所環を考えることは、ファイバーの全体ではなく一部しか見ないことに他ならず、穴が空いた空間を考えていることになるので、 $\pi$ は proper ではない。つまり、$x$ は $A$ 上整ではないといえる。