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導入

　今年も京都大学特色入試の時期がやって参りましたね。 Twitter では

令和8年度京都大学理学部数理科学特色入試を受けて―林檎ちゃ｜林檎ちゃ @apple_tea_pink https://t.co/uU8f5PwHCQ

— 林檎ちゃ (@apple_tea_pink) November 16, 2025

を筆頭に、口頭試問での $2^{\sqrt{2}}$ の定義が話題になっています。（そもそも、私は、高校で $2^{\sqrt{2}}$ を定義した覚えがありません🤔）

　　さて、この記事では そんな $2^{\sqrt{2}}$ をKan拡張を使って圏論的に定義します。

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参考文献

1. Riehl, Emily. Category theory in context. Courier Dover Publications, 2017.
2. hora-algebra, 順序集合で遊ぶ Kan 拡張入門, https://hora-algebra.notion.site/Kan-8f1b4f4f3bd04d16a5a22ad0d1411f69?pvs=143
3. 壱大整域 https://alg-d.com/math/kan_extension/

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準備

• 前提：「圏」と言えば、 $1$ -圏を指すことにします。

　まず、 $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{R}_{+}$ を順序集合として $1$ -圏とみなします。つまり、

• 対象：元 $x \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{R}_{+}$ ;
• 射 $x \to y$ を：$x \leq y$ のときただ一つは生え、そうでないときは空な射 ;

です。これにより、単調増加関数は関手となります。

　次に、 $a > 1$ を取ります。このとき、$a^{(-)} \colon q \mapsto a^q$ $(\mathbb{Q} \to \mathbb{R}_{+})$ は単調増加関数になります。

　そして、 $i \colon \mathbb{Q} \hookrightarrow \mathbb{R}$ を順序集合の包含として関手とみなします。

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本題

[定理 $1$]

　関手 $F \colon C \to E$ と $K \colon C \to D$ をとる。このとき、任意の $d \in D$ に対して、余極限

$$(\operatorname{Lan}_{K}F)(d) \colonequals \operatorname{colim}(K \downarrow d \overset{\Pi^{d}}{\to} C \overset{F}{\to} E)$$

が存在するならば、この components は左 Kan 拡張

$$\operatorname{Lan}_{K}F \colon D \to E$$

を定める。そして、双対的に、任意の $d \in D$ に対して、極限

$$(\operatorname{Ran}_{K}F)(d) \colonequals \operatorname{lim}(d \downarrow K \overset{\Pi_{d}}{\to} C \overset{F}{\to} E)$$

が存在するならば、この components は右 Kan 拡張

$$\operatorname{Ran}_{K}F \colon D \to E$$

を定める。

　ここで、関手 $\Pi$ はコンマ圏からの自然な射影である。

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　準備をこの [定理 $1$] に適用すると、

$$(\operatorname{Lan}_{i}F)(x) \colonequals \operatorname{colim}(i \downarrow x \overset{\Pi^{x}}{\to} \mathbb{Q} \overset{a^{(-)}}{\to} \mathbb{R}_{+})$$

$$\begin{matrix} \mathbb{R} & & \\ i {\large{\uparrow}} & {\large{\searrow}} & \small{\operatorname{Lan}_{i}F} \\ \quad \mathbb{Q}& \large{\underset{a^{(-)}}{\longrightarrow}} & \mathbb{R}_{+}\end{matrix}$$

というものが得られます。ここで、コンマ圏 $i \downarrow x$ の対象は

• $q \in \mathbb{Q}$ と $i(q) \to x$ の組。

このことから、

$$(\operatorname{Lan}_{i}F)(x) = \underset{q \in \mathbb{Q}, q \leq x} {\operatorname{colim}}{a^{q}}$$

そして、 順序集合において余錐 が「上界」対応するという極めて自然な図式の観察から、余極限が「上限」に相当することがわかるので、

$$(\operatorname{Lan}_{i}F)(x) = \underset{q \in \mathbb{Q}, q \leq x} {\operatorname{sup}}{a^{q}}$$

が成り立ちます。

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以上より、$a > 1$ と $x \in \mathbb{R}$ に対し、

$$a^x \coloneqq \underset{q \in \mathbb{Q}, q \leq x} {\operatorname{sup}}{a^{q}}$$

と定めると、これは $a^{(-)}$ の $i$ に沿った左 Kan 拡張の値となります。

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　上の定義は $a > 1$ のとき、単調増加性のもとで well-defined で、 $0 < a < 1$ のときは、 $a^{(-)}$ が単調減少関数なので、$\mathbb{R}_{+}$ の双対圏 $\mathbb{R}_{+}^{\operatorname{op}}$ を考えればいいです。このとき、 $\operatorname{sup}$ は $\operatorname{inf}$ に変わります。

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　さて、右 Kan 拡張を考えると、

$$a^{(x)} \coloneqq (\operatorname{Ran}_{i}F)(x) = \underset{q \in \mathbb{Q}, q \geq x} {\operatorname{colim}}{a^{q}} = \underset{q \in \mathbb{Q}, q \geq x} {\operatorname{inf}}{a^{q}}$$

です。

　このことから、「上限と下限が一致している」、つまり、この 左・右 Kan 拡張の一致が「有理数 $\mathbb{R}$ の完備性」に対応していることが伺えます。

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　$a = 1$ のとき、 $a^{(-)}$ の 左・右 Kan 拡張は定関手になり、 $x \mapsto 1$ という定関手が得られます。

　$a \leq 0$ のとき、任意の $q \in \mathbb{Q}$ に対し、$a^q$ を考えるのは困難です。定義域を奇数分母の有理数などに制限すればいけると思います。Kan 拡張として捉えるのはおそらく難しいのではないでしょうか？？？

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ここまで読んでいただきありがとうございます。

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蛇足

これはいい思い出ですが、私は、2023年11月10日、まだ浪人していた時に、京理特色を受けて見事に筆記の時点で落とされましたね...私の数学力はあの時完全に証明されたと思います。

(私のインスタから拝借してきました。)

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