2026年6月

1日

condensed の話をするのでモチベを考えていました。

スキームの完備化を定義しようとすると形式スキームが必要ですが、Zariski位相はかなり粗く、解析的点を扱えないです（モジュライとかは置いておいて）。そうするとadic空間を考えるべきですが、完備化が完全関手でないことやネーターとは限らない点、そもそも analytic cover とかだと射の貼り合わせとかのために $\infty$ な descent が必要なはずで、そうなると導来圏の貼り合わせで単なる三角圏として $D^b(\operatorname{Coh}(X))$ を考えるのはまずく、連接層の導来圏の理論では不足があります。

ここで Scholze らは凝縮数学の枠組みで、完備化などは solid tensor product として定義することで解消し、連接層の導来圏の情報不足な点に関しては pseudocoherent complex や perfect complex などの descent での homotopy coherent limit で安定な有限性object用いて補っているはずです。solid tensor product にも descent が必要なのでやはり pseudocoherent complex や perfect complex を用いるのは妥当なはずです。そうなるとやはり stable $\infty$-category で議論を進めなければなりません......

やはり我々は $\infty$-categoryからは逃れられない運命なようです......

色々、ろりじょさんにご指摘をいただけました！ありがとうございます🙇 田舎者でも、湧源とかで繋がりがあるとこういう時にアドバイスいただけるので助かりますね〜

2日

今日は、台風が昼過ぎに接近したため、雨がかなりひどかったです。

友人の誕生日だったので、授業の後、私の家で誕生日会を開き、麻雀をやりました。

3日

今日は、凝縮数学のゼミ準備のためにAdv8thで読んだ Scholze の "Lecture on Condensed Mathematics" の lecture 1 を読みました。Advではホームページで公開されていたバージョンを読んだのですが、今回、最近公開された arXiv のものを読みました。lecture 1 でも証明や説明が変わっている部分がありました。特に、写真の部分はちゃんと証明が直っていてよかったです。以前は、faithful を示すのが重要であるみたいな書き方だったのですが、faithful は自明で、full が少し構成を挟む必要があり非自明です。

4日

手元に、ショルツェ先生の凝縮数学のレクチャー8まで(condensed set ~ analytic ring, solid module まで)の行間埋めたノートがあるのですが、LaTeX化+HTML化したものにし、ショルツェ先生に連絡して公開しようかな？？？という気分です。ゼミが今後あるので、ゼミで扱った部分から順に公開したいですね〜でも、こんな一端のB3がそんなことしていいのですかね🤔信頼もないですし、かなり不安と恐怖があります......

5日

最近 Obsidian を導入しました。 用途としては、 気になった文献を要約+objectsのタグづけして、論文/objects間の繋がりを視覚化したり、個々の概念のモチベーション管理、思考整理を目的として使っています。

こんな感じで Markdown + KaTeX(?) で書けます。

各文献の繋がりとかは以下みたいに視覚化できます。

ちゃんと分野間の繋がりを自分の興味に合わせて視覚化してみると、本当に自分がやりたいことがわかってよかったです。

以前は、Motive や導来代数幾何やK理論などにも興味自体はあり右往左往していたのですが、こう視覚化すると、気になる文献は本当に condensed mathematics を中心として広がっていることがわかり、condensed mathematics の周辺を勉強するにしてもどこから勉強すればいいのかをようやく理解できました。たとえば、Motive は中心からかなり離れているので勉強は後回しで良さそうですね^^一方、D-module に関しては six-functor formalism がかなり隣接した分野なので勉強する価値がかなり高そうですね。

Berthelot による arithmetic $D$-module は formal scheme 上で定義されるものだけど、1日に書いた思想に則れば、arithmetic $D$-module も analytic stack 上で定義すべきであることがわかります。そういえば、Six-Functor Formalisms が $D$-module について言及していることにこれを整理しながら気づきました。目は通したことあったのですが、あまりにわからないので、記憶に残っていなかったです。

arithmetic $D$-module から analytic D-module を作るのは収束条件が足りない、つまり Frobenius 性が足りないから、多少こねくり回して定義することで、なんとか arithmetic $D$-modules 的な six-functor formalism が得られそうという構想段階らしいです。Caro のノートを見た時、EGAみたいに構成されていたのでレッドオーシャンだと思っていたのですが、まだまだ arithmetic $D$-module にも改善の余地はあるっぽいです。（双有理幾何はレッドオーシャンらしいですが......）今後はとりあえず、analytic stack 上の arithmetic $D$-modules の six-functor formalism を研究することを目標に勉強したいですね〜ようやく勉強の方針が明確に定まりました^^

6日

condensed ゼミの進捗を産んでいました。 基数とかウルトラフィルターとか無縁だと思っていて、勉強したことが降り注いできてnLab先生のお世話になっていました。 高次圏論といった内容において、基礎論あたりの内容はかなり本質的な内容なのではないかという気分であるということ、や Scholze 氏やLurie氏とかも基礎論あたりの分野にも大変精通しているということを踏まえて、学部のうちにこのあたりの基礎論の勉強もある程度真面目にしたいと考えになってきましたね。

7日

記憶喪失...... ちゃんと日記をつけようね......

8日

the elementary theory of the category of sets with replacement ってなんすか...... condensed の Remark 2.7 を読んでいたら、突如、強制法やmodel の話、pretopos の話がでてきて、何もわからない......何もわからない......になっています。 Sketches of an Elephant を読まないといけないのか？？？ 時間がある時にこのあたりの内容をまとめてツイートしたいな〜と思っています。

という論文がかなり私の周りで話題になっています。

るめなる曰く、 「F_1 という哲学自体は自然でありかつ特に Scholze 周辺は意識していると思うんですが、『その哲学に沿って考えたときに存在すると思われる対象を間接的に実現する』という方向と『直接的に F_1 上の幾何の枠組みを作ろう』という方向があって、例えば Scholze–Weinstein の local shtuka の仕事は前者に属するもので、後者としては例えば Connes–Consani, Borger, Durov などの仕事があります---中略---『大域 FF 曲線を作るのだとしたらそれを "Frobenius" で割ることで実現できるであろうもの』が（ある観点では）作れた」 と言っていました。絶対幾何は何も知らないのですが（そもそも数論幾何を何も知らないという話はおいておいて）、Global shtuka に至るのに大きな一歩になったんですかね？？？ Langlands とか Condensed あたりだけじゃなくて、絶対幾何も動向を追ったほうが良さそうですね...... 時間ある時に Obsidian にまとめます...... Global shtuka とかに関しては以下で Scholze 氏が少しだけ話しています :

9日

今日、位相空間論の中間があったんですが、絶起して中間サボってしまい頭抱えています。これにより、期末での満点が単位取得のための最低条件になってしまい、やばいです。 中間の内容を軽くみた感じ、できなくはなさそう？？？ 中間飛んだせいで、4年前期で再受講の可能性が出てきており、院試に響きそう......という絶望があります...... 最近、マジで朝起きれなくて、予後が悪い......

（適切な）耳学問を増やしたいね〜 Langlands みたいな他分野の対応を自分の力で別分野み持ち込んでみたすぎます〜

10日

プリキュアのプリってなんだ？ sheaf に対する presheaf みたいな object のこと？ というネタツイをした。センスはない。

明日のゼミのために、Bhatt-Scholze の "The pro-étale topology for schemes" を斜め読みしていました。

pro-étale site は étale site での $\mathbb{Q}_l$ 係数コホモロジーの導来完備性などの問題を w-contractible affine schemes というものを使って pro-étale site でabelian sheaves の derived category が left-complete にすることで解消した、と読み取ったのですが、そうすると light も高々可算極限しか扱わないので、extremally disconnected set を扱えず、étale site と同じ問題を持ちそうな？🤔 この疑問を GPT5.5-thinking に聞いてみたのですが、何も理解できていないようで、お揃い❤️ ちゃんと étale cohomology とさらに pro-étale cohomology を勉強しないとな〜〜〜となるなど...... そのためにもまず Liu を読み切らないと...... condensed の準備に追われて最近何も読めてないです......

洞さん主催の discordサーバーで Gestalten (six functor formalism とか) が話題になっていました。

11日

condensed のゼミがありました。 私の怠慢により、発表資料の作成が間に合わず、発表しながらゼミ資料を書くというあり得ないことをしました...... 反省します...... site 上の sheaf をまともに扱うのがこの condensed が羽島手なので、めちゃくちゃ証明が覚束なく、エタコホとかでちゃんと入門するとか SGL をちゃんと読み切るとかしないとな〜〜〜と......

12日

今日は、所用で東京への遠征でした。

東京駅の丸の内側の広場でカップルが等間隔に並んで座っていて、京都の鴨川でも同じ光景をみたことあるな......となりました。

₍ ˃ᯅ˂） ( ꪊꪻ⊂)

よくないかも？？？

新幹線の中で昨日のゼミの反省点を踏まえたノートのLaTeX化を進めたところ、一時間ぐらいでめちゃくちゃ気分が悪くなりやばかった...... 来週中にはちゃんとまとめて一般公開します。 そうしたら、日本語で証明も踏まえてまともに（概説という点では三神さんの資料がすでにあったり、condensed セミナーの手書きノートが公開されていたりしますが） condensed の扱う公開資料は初になるかも？？？ 記事の信頼性はB3のひよっこ学生が書いているという点で皆無なのですが...... まあ改善していけばヨシ（現場ネコ）

13日

今日は所用で東京にいます。

(ここは代々木公園側のオリンピックセンター内からの景色)

明日は友人と東京・埼玉散策なので楽しみです^^ 数学は何もしていない......

14日

所用二日目です。 メインの用事は12時ごろには終わり、解散となりました。 他の方は食事にでも行ったのかな？参加できなくてごめんなさい...... 上伊那ぼたんの聖地巡礼をどうしてもしたかったんです...... 何していたか・どこ行っていたかは以下を読んでね^^

15日

帰りの夜行バスで、またイヤホンを無くしてありえない...... 3ヶ月前に数物セミナーに行く途中で無くしたばっかりなのに...... 県外に移動するたびにイヤホン無くしている......

16日

公開していなかったcondensed のゼミのノートを急いでLaTeXして公開した :

PV300ぐらいすぐ行く思ったけど、そんなことなかった...... 難しい概念だからか？？？ まあいいや。

今日は久しぶりに最初のコマから大学に行けて^^

17日

以前言及した通り、3月の数物セミナーに行くときに無くして、神戸三宮ですぐに買ったイヤホンをまた無くしたので、またまた買いました......

nothing ear(3) というカッコイイやつを買いました。

以前は、nothing ear を半年ぐらい使っていたのですが、充電の持ちがかなり悪かったのですが、今回はどうなのだろう？？？

nothing ear(3) は正当な nothing ear の後継モデルとして、順当に進化している気がしますね。 ノイズキャンセリングの差はあんまり伸びていないかもしれませんが、フォルムとかは以前よりもマットな仕上がりで、さらにカッコよくなっています。

最初は SONY の WF-1000XM6 を買おうと思っていたのですが、WF-1000XM5 に比べダサくなっていた(+高い)ので断念......

あと、移動中の乗り物の中で無くしてしまうことが多いので、完全に分離しているワイヤレスイヤホンではなく、繋がっているワイヤレスイヤホンを同時に買いました。 （移動中、基本寝るのですが、寝るには音楽とか聴かないと寝られなくて......） SONY の以下のものを買いました。 （型としてはかなり古く、多分同じ型の旧型製品を中学生ぐらいの時に使っていました。） まあ最低限の利用ができればいいと思っているので、問題ないです。 値段相応の価値はあると思います。 （若干、音のしゃりしゃりが強いかも？？？）

もうイヤホン無くしたくない...... 初めて買ってもらったワイヤレスイヤホンである WF-SP800N は高校4年間ずっと使えていたのに......

18日

バイト先の飲み会があったのですが、ビールと日本酒をチェイサー無しで飲み続けてしまい、終わり。 楽しかったのでヨシ‼️ なんか、メンツはB3が2人と修士（相当）が4人なんですが、インターンとかの就活の話をしていて、顔なかったです...... まあ、企業情勢には平均学生以上の知識はあるので、話自体にはついていけましたが。

19日

Condensed Math (凝縮数学)に関する覚書。が、凝縮数学のセミナーノートを掲載してから急に閲覧数が伸び始めていて困惑しています。 誤植が大量にあるから読まないでと注意書きに書いているのに、読まない人が多いな〜〜〜 ということで、重い腰を上げ、このページの誤植を私が観測している範囲内で修正しました。 定理環境なども使うようにしたので、多少見やすくもなったと思います。

20日

バイトをしながら、なんか雑に考え事をしていました。 Liu も最低限のところまでおおよそ読んだし、凝縮数学も入門的なのは1つほぼ読んで、SGLも松村もある程度は読んだけど、応用というか、面白い部分の勉強を何もしていないことに気づいてしまい...... まあ、今年いっぱいはこの辺の基礎的な部分をやっていてもいいのかなぁ🤔

小淵沢若手数学者勉強会というものを知りました。 運営を見ると、全員知り合いの人間で驚きました🤩 次回はおそらく Gestalten らしいのですが、コネで参加させてもらえないですかね......

21日

今日は、松村ゼミでした。 「§20. UFD」を担当しました。 多分一番重要なのは、正則局所環が UFD であることかなぁ〜と思いましたが、他の章だと例えば、正則局所環は整域であるという主張が §14. ぐらいであると思うのですが、§14だと、Lechの補題とか、オモロ命題がたくさんあるのですが、§20だと、これ以上面白そうな命題がないのです...... 加えて、 後半では、Weil因子やCartier因子の話が載っているのですが、急に代数多様体の話になって、ひたすらお話しパートに入ってしまって、何がなんやら...... 松村先生の趣味で無理やり入れた節なのかな？？？ 代数幾何でもUFDが重要なのはそうなんだけど、今まで代数幾何の話を全て避けていたのに、急に話し始めるのはよくわからん

22日

今日は、午前中に溜まっていた仕事をしたら、午後はずっとポケモンチャンピョンをやってしまった...... ガチで反省...... ここまでゲームしたのは、中学生の時のモンハンワールド以来かも知れない....... なんか9連勝してハイパー1まで行きました。

浅縹による、 Liu の 6.3~6.4 あたりの内容の Grothendieck duality に関するゼミがありました。今回は、その準備として 6.3+α の内容を扱っていました。

その後、浅縹が院試の提出書類を書くらしく、ボイスチャットでずっと 0時から4時ぐらいまで雑談していました。 浅縹、じゅんにー、井上、ka、るめなる、あいさん、私、がメインで話していました。途中 Alwe さんも話に来ていました。 B4東大数理の講究情報とか役立つ情報を知れて happy !!! やはり、三枝研・今井研はかなり人気らしい...... 一方で、阿部知研は今年も0人だそうな...... う〜〜〜ん......

23日

凝縮数学についてあれこれ書かれていますが、定義も言っていることも出鱈目なので、読まない方がいいです。

24日

mixi2でミクートし忘れてしまい、67日続いていた記録が途絶えてしまいました...... また記録を作り直さなくては......

数物の仕事を大量に進めました。 私の仕事多すぎじゃないです？？？

25日

今日は誕生日でした 高校大学FFの友人らには祝ってもらえました。 みんなありがとう

これは大学の友人に祝ってもらった写真です。

なにも仕事をしませんでした...... 流石に明日は勉強します...... 数物以外の仕事も溜めてしまっているのでちゃんとやりたいです......

26日

前日、大学の友人らと騒いでいて、睡眠時間が足りておらず、21時には寝落ちしてしまっていました...... 今日はなんの日だったかと言うと、あの上伊那ぼたんの最終回でした...... リアタイできなかったことが本当に悔やまれます......

27日

おそらく、ここ最近の梅雨の影響なのですが、一日中頭痛い日が続いていて厳しいので、眠くならないいいバファリンを買ってしまいました...... 高かった...... 飲んでから1時間ぐらいで頭痛が治ってきたのでよかった^^ 今月金欠なのに、予想外の出費〜〜〜

28日

Scholze の "Lectures on condensed mathematics" の 2019 ver. には、WARNING 2.8. で以下のような文がありました :

It is probably not true that $D(\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab}))\cong \operatorname{Cond}(D(\operatorname{Ab}))$ ; for example, the right side has no a priori reason to even be a triangulated category, as categories of diagrams in a triangulated category are usually not triangulated (by the failure of functoriality of cones). Passing to $\infty$-categories resolves the issue, i.e. the derived $\infty$-category $\mathcal{D}(\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab}))$ is indeed equivalent to $\operatorname{Cond}(\mathcal{D}(\operatorname{Ab}))$ ; this is a general fact about sheaves of complexes on sites. Here, for any $\infty\text{-category}$ $\mathcal{C}$, we define $\operatorname{Cond}(\mathcal{C})$ as contravariant functors from extremally disconnected sets to Ctaking finite disjoint unions to finite products (plus the set-theoretic condition explained in the appendix to this lecture).

しかしながら、stable citable version である以下では、この記述が削除されており、なぜ......？となっています。心当たりのある内容を知っている方は教えていただけると助かります。

Observation 8.11 では、

$$j_! \colon D((A,\mathbb{Z})_{\square}) \to D((A,\mathbb{Z})_{\square}), \quad M \mapsto M\otimes_{A\otimes_Z^L Z_{\square}} (A_{\infty}/A)[-1]$$

という endofunctor が登場するのですが、これは typo です。実際に Scholze 氏にメールで確認しました(この程度のことで確認するなという話ではあるので、申し訳なくはある)。

修正としては、以下のようにすれば良いです :

$$j_! \colon D((A,\mathbb{Z})_{\square}) \to D((A,\mathbb{Z})_{\square}), \quad M \mapsto M\otimes_{(A,\mathbb{Z})_{\square}} (A_{\infty}/A)[-1].$$

$A\otimes_Z^L Z_{\square}$ と $(A,\mathbb{Z})_{\square}$ は solid module としては同型ですが、ここでは analytic 上で考えるべきで、 $(A,\mathbb{Z})_{\square}$ を採用するべきです。まあ、ここだけ $A\otimes_Z^L Z_{\square}$ が使われていて、そのほかは $(A,\mathbb{Z})_{\square}$ で書かれているので問題はほぼないです。メールした意図としては、$A\otimes_Z^L Z_{\square}$ を使う明確な意図があるのかと勘繰ってしまっていたからですが、普通に typo らしい。

メールするなら、WARNING 2.8. のことも聞けばよかった() メール書いたら1分で返信きたので、また今度メールしよう。

29日

朝から大学に行き、 condensed のゼミの資料作りに勤しんでいました。 今日一日で命題一個しか進捗がありません...... まあ、割と長い証明でノート7ページぐらい使ったので耐えかな？？？ これの数十倍の長さのある Theorem 5.8. をちゃんとフォローすると何ページになるんだろう...... まあ、多分ステートメントだけ述べて証明は略す気がする...... ほえ〜〜〜という証明だけど、主張自体の方があまりに重要なので.

本格的に Twitter で smooth set が話題になってきたので、 Obsidian に smooth set の項目を作り、 GPT とかに色々調べさせてノートを作りました。

smooth set は smooth manifolds の site 上の sheaf のことです。 smooth set の圏 $\operatorname{SmthSet}$ は Grothendieck topos になるらしいです <- 素晴らしい！ cartesian spaces はこの site の basis を成すので Comparison Lemma より

$$\operatorname{SmthSet} \simeq \operatorname{Sh}(\operatorname{CartSp})$$

が成り立ちます。$\infty\text{-category}$ 側の対応物である smooth $\infty\text{-groupoid}$ では、そのまま

$$\operatorname{Smth\infty Grpd} := \operatorname{Sh}(\operatorname{CartSp}_{\operatorname{smooth}})$$

と定義すればいいです。 これは $\infty\text{-topos}$ になります。 condensed でも同じ話がありましたね🤔

似たような概念として、diffeological space というものがありますが、この圏 $\operatorname{Diffeo}$ は Grothendieck quasi topos であり、

$$\operatorname{Diffeo} \hookrightarrow \operatorname{SmthSet}$$

という忠実充満関手があります。 さらに、この $\operatorname{Diffeo}$ は $\operatorname{SmthSet}$ 内の concrete sheaves として扱えます。

$\operatorname{Diffeo}$ は $\operatorname{SmthSet}$ と比較して、このような圏論的優位性がありますが、現在は $\operatorname{Diffeo}$ を扱うものが多いらしい(?)です。 これは、 $\operatorname{Diffeo}$ sheaves topos より幾何的な colimits を持つことに起因しているらしいです。 この二者の比較は以下で議論されています.

さっきも言及しましたが、 $\operatorname{SmthSet}$ は $\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})$ の構成にかなり近いですね。 多分、liquid vector space とかを扱うと smooth manifold も扱えそうだと思っているのですが(調べていない)、そうすると、個人的には「$\operatorname{SmthSet}$ VS $\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})$」みたいな話を聞きたいです。 まあでも、$\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})$ は代数的な操作に特化しているのですかね？？？ $\operatorname{AnSpec}(\mathcal{A},\mathcal{M})$ みたいなものもありますが、スキームと同じで、独立に扱う必要があるのでしょうか？？？ でも、Scholze 氏や Clausen 氏は有限素点の幾何と無限素点の幾何を統一的に扱うことを目標にしていると思いますが、このあたりはどうなんでしょうかね？？？

30日

28日 で、Scholze の "Lectures on condensed mathematics" から、WARNING 2.8. の以下の文

It is probably not true that $D(\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab}))\cong \operatorname{Cond}(D(\operatorname{Ab}))$ ; for example, the right side has no a priori reason to even be a triangulated category, as categories of diagrams in a triangulated category are usually not triangulated (by the failure of functoriality of cones). Passing to $\infty$-categories resolves the issue, i.e. the derived $\infty$-category $\mathcal{D}(\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab}))$ is indeed equivalent to $\operatorname{Cond}(\mathcal{D}(\operatorname{Ab}))$ ; this is a general fact about sheaves of complexes on sites. Here, for any $\infty\text{-category}$ $\mathcal{C}$, we define $\operatorname{Cond}(\mathcal{C})$ as contravariant functors from extremally disconnected sets to Ctaking finite disjoint unions to finite products (plus the set-theoretic condition explained in the appendix to this lecture).

が消えた、という話をしましたが、今日、"Lectures on Analytic Geometry" の 2020年ver. と stable citable version を statement だけ全て読んだところ、 2020年ver. と stable citable version との LEMMA 11.8. で以下のより一般化された命題とその証明があり、"Lectures on condensed mathematics" で $\infty\text{-category}$ を本質的に使っていないのに、言及する必要ないよな〜ということに気づきました ;

以前、"Lectures on Analytic Geometry" の 2020年ver. に関しては、Adv8th のときに一通り読んだ(証明は追っていない)のですが、stable citable version では section 11. Lecture XI: Towards localization が削除され、section 11. Lecture XI: Animation が追加されていました（なお、多分、内容は変わっていない）。

Condensed を学ぶなら、"Lectures on condensed mathematics" -> "Lectures on Analytic Geometry" の順番で読み必要があるので、とうとう、目の前に本質的に $\infty\text{-category}$ を使う文献が現れ、すぐに $\infty\text{-category}$ の本（たとえば [Land] なり、 [Kerodon] なり [HTT] なり）を読まなければならなくなってしまいました......